
\prob{0081}{公因数与公倍数的互质}

若
\[ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \dots, \frac{a_k}{b_k} \]
是一些既约的有理数，求证：
\[ \gcd(\gcd\{a_k\}, \lcm\{b_k\}) = 1 \]
也即分母的最小公倍数与分子的最大公因数互质。
\problabels{yellow/数论, green/证明题}

\subsection{反证法}

不妨假设$\gcd\{a_k\}$与$\lcm\{b_k\}$不互质，它们有质数$p$作为公因数。于是$p$是所有分子的因数，且易知所有分母中必然至少有一个有因数$p$，设其为$b_i$。于是$b_i$有因数$p$，$a_i$亦有因数$p$，故$a_i/b_i$不既约，与题目条件相悖，故原假设不成立。证毕。
